对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）

问题解答题

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点，已知f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）当a=1，b=-2求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，令g(x)=

x+2

+loga

1+x

1-x

，解关于x的不等式g[x(x-

)]＜

．

答案

（1）当a=1，b=-2时，

ax²+（b+1）x+（b-1）=x可化为x²-x-3=x

∴x²-2x-3=0

∴x=3或-1

∴所求的不动点为-1或3．

（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异不动点，即ax²+bx+（b-1）=0有两个不等实根

∴△₁＞0，即b²-4ab+4a＞0对任意b∈R恒成立

∴△₂=16a²-16a＜0

∴0＜a＜1

（3）g′(x)=-

(x+2)2

(1+x)(1-x)lna

∵

1+x

1-x

＞0，

∴-1＜x＜1

∴（1+x）（1-x）＞0

∵0＜a＜1

∴lna＜0

∴g′（x）＜0

∴g（x）在定义域（-1，1）上递减，

∵g(0)=

∴g[x(x-

)]＜

可化为g[x(x-

)]＜g(0)

∴

-1＜x(x-

)＜1

x(x-

)＞0

∴{x|

＜x＜0或

＜x＜

}