将直线

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0

∴点（-1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₁=

|-b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab+b|

a2+b2

点1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₂=

|b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab-b|

a2+b2

∵双曲线中c²=a²+b²，且a＞1

∴d₁=

|ab+b|

a2+b2

=

ab+b

c

，d₂=

|ab-b|

a2+b2

=

ab-b

c

∵点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和s≥

4

5

c，

∴s=d₁+d₂=

ab+b

c

+

ab-b

c

=

2ab

c

≥

4

5

c

∴

2

5

c2≤ab⇒

4

25

c4≤a2b2

将b²=c²-a²代入上式，得

4

25

c4≤a2(c2-a2)

整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0

两边都除以a⁴，得4(

c

a

)4-25(

c

a

)2+25≤ 0

即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0

∴

5

2

≤e2≤

5

⇒离心率e∈[

5

2

，

5

]

故答案为：[

5

2

，

5

]