问题
问答题
设A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξt是齐次方程组Ax=0的基础解系，若存在ηi使Aηi=ξi，i=1，2，…，t，证明向量组ξ1，ξ2，…，ξt，η1，η2，…，ηt线性无关．
答案
参考答案：(定义法，同乘)．如果
k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt+l1η1+l2η2+…+ltηt=0，①
用A左乘上式，并把Aξi=0，Aηi=ξi，i=1，2，…，t代入，得
l1ξ1+l2ξ2+…+ltξt=0． ②
因为ξ1，ξ2，…，ξt是Ax=0的基础解系，它们线性无关，故对②必有
l1=0，l2=0，…，lt=0．
代入①式，有 k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt=0．
所以必有 k1=0，k2=0，…，kt=0．即向量组ξ1，ξ2，…，ξt，η1，η2，…，ηt线性无关．
解析：评注 请你证明：
若A是n阶矩阵，ξ1，ξ2，…，ξs是矩阵A属于特征值λ1的线性无关的特征向量， η1，η2，…，ηt是矩阵A属于特征值λ2的线性无关的特征向量，且λ1≠λ2，证明ξ1，ξ2，…，ξs，η1，η2，…，ηt线性无关．(提示：定义法，用A乘，用λ1乘．)