（1）由题意知，a_n=（

1

4

）ⁿ．

∵bn+2=3log

1

4

an，b1+2=3log

1

4

a1

∴b₁=1

∴b_n+1-b_n=3log

1

4

a_n+1=3log

1

4

a_n=3log

1

4

an+1

a n

=3log

1

4

q=3

∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．

（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ．b_n=3n-2

∴C_n=（3n-2）×（

1

4

）ⁿ．

∴S_n=1×

1

4

+4×（

1

4

）²+…+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ，

于是

1

4

S_n=1×（

1

4

）²+4×（

1

4

）³+…（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，

两式相减得

3

4

S_n=

1

4

+3×[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ）-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，

=

1

2

-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，

∴S_n=

2

3

-

12n+8

3

×（

1

4

）ⁿ⁺¹

（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ=9（1-n）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，

∴当n=1时，C₂=C₁=

1

4

当n≥2时，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n

∴当n=1时，C_n取最大值是

1

4

又Cn≤

1

4

m2+m-1

∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．