问题
解答题
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
（1）求F（x）的单调区间； （2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
（3）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
(x＞0)，F′(x)=a x
-1 x
=a x2
(x＞0)．（2分）x-a x2
因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2）F′(x)=
(0＜x≤3)，k=F′(x0)=x-a x2
≤x0-a x02
(0＜x0≤3)恒成立，（7分）1 2
即a≥(-
x02+x0)max，当x0=1时取得最大值1 2
．所以，a≥1 2
，所以amin=1 2
．（10分）1 2
（3）因为x≥e，所以xlnx≥ax-a⇔a≤
，令h(x)=xlnx x-1
，x∈[e，+∞)，则h′(x)=xlnx x-1
．（12分）x-lnx-1 (x-1)2
因为当x≥e时，(x-lnx-1)′=1-
＞0，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，1 x
所以h′（x）＞0，所以h(x)min=h(e)=
，所以0＜a≤e e-1
．（16分）e e-1