设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意

问题解答题

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

=（x₁，f（x₁）），

=(x2， f(x2))，

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

=λ

+（1-λ）

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

答案

（1）由

=λ

+（1-λ）

得到

=λ

，

所以B，N，A三点共线，（2分）

又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

=λ

+（1-λ）

，得N与M的横坐标相同．（4分）

对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），

则有|

|=x-x2=-(x-

)2+

，故|

|∈[0，

]；

所以k的取值范围是[

，+∞)．（6分）

（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，

A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）

则直线AB的方程y-m=

em+1-em

(x-em)，（10分）

令h(x)=lnx-m-

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），

于是h′(x)=

em+1-em

，（13分）

列表如下：

x	e^m	（e^m，e^m+1-e^m）	e^m+1-e^m	（e^m+1-e^m，e^m+1）	e^m+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（e^m+1-e^m）	减	0

则|

|=h（x），且在x=e^m+1-e^m处取得最大值，

又h(em+1-em)=ln(e-1)-

e-2

e-1

≈0.123＜

，从而命题成立．（16分）