对于函数f（x）=a x2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x0，使

问题解答题

对于函数f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x₀，使f（ x₀）=x₀成立，则称 x₀为f（x）的不动点

（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）²+（y+2）²=4 a²+4的位置关系．

答案

（1）f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），

当a=2，b=-2时，f（x）=2 x²-x-4，

设x为其不动点，即2 x²-x-4=x

则2 x²-2x-4=0，解得 x₁=-1，x₂=2

即f（x）的不动点为-1，2…..（4分）

（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0

关于x的方程有相异实根，则 b²-4a（b-2）＞0，即 b²-4ab+8a＞0

又对所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立

故有（4a）²-4•8a＜0，得0＜a＜2…．（10分）

（3）由圆的方程得圆心M（2，-2），半径r=2

a2+1

M到直线y=ax+1的距离d=

|2a+3|

1+a2

比较d与r的大小：r-d=2

a2+1

2a+3

a2+1

2a2-2a-1

a2+1

2(a-

)2-

a2+1

…..（9分）

当a∈(0，

)时，r＜d，直线与圆相离；

当a=

时，r=d，直线与圆相切；

当a∈(

，2)时，r＞d，直线与圆相交（16分）．