（1）∵g（x）为奇函数且函数的定义域为R，

∴a＞0且g（0）=

b

a

=0

∴b=0，故有g（x）=

ax

x2+a

∵g(x)≤

1

2

恒成立即

ax

x2+a

≤

1

2

恒成立

整理可得，x²-2ax+a≥0恒成立

∴△=4a²-4a≤0

解可得，0＜a≤1

∵a∈N^*

∴a=1

（2）g（x）在[-1，1]上单调递增，证明如下

z证明：由（1）可得，g（x）=

x

x2+1

，x∈[-1，1]

设0≤x₁＜x₂≤1

则g（x₁）-g（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵0≤x₁＜x₂≤1

∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0

则g（x₁）-g（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0

即g（x₁）＜g（x₂）

∴g（x）在[0，1]上单调递增

根据奇函数对称区间上的单调性一致可知，且g（0）=0，则可得g（x）在[-1，0）上单调递增

综上可得，g（x）在[-1，1]上单调递增

（3）由（2）可得，-

1

2

≤g(x)≤

1

2

①当t＞

1

2

或t＜-

1

2

时，方程g（x）-t=0没有实数根

②当-

1

2

≤t≤

1

2

时，方程g（x）-t=0有1根实数根