问题
问答题
设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,且A11≠0.证明:方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解.
答案
参考答案:必要性:
因为Ax=b有无穷多解,所以r(A)<n,即|A|=0.
有 A*b=A*Ax=|A|x=0,即b是A*x=0的解.
充分性:
因为b为A*x=0的解,即A*x=0有非零解,所以r(A*)<n.又A11≠0,所以r(A*)=1,r(A)=n-1.
同时有A*A=|A|E=0,A*b=0,
令A=(α1,α2,…,αn), 则α1,α2,…,αn是A*x=0的解.
因为A11≠0,所以α2,…,αn线性无关,所以α2,α3,…,αn,是方程组A*x=0的基础解系.
b可由α2,α3,…,αn线性表示,即b可由α1,α2,α3,…,αn线性表示.
因为Ax=b有解,又r(A)=n-1,所以Ax=6有无穷多解.
解析:[考点提示] 求方程组的解.