问题
问答题
设线性齐次方程组(2E-A)X=0有通解ξ=kξ1=k-1，1，1T，其中k是任意常数，A是二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的对应矩阵且r(A) =1．
(Ⅰ)问η1=1，1，0T，η2=1，-1，0T是否是方程组AX=0的解向量，说明理由．
(Ⅱ)求二次型f(x1，x2．x3)．
答案
参考答案：A是二次型的对应矩阵，故AT=A，由(2E-A)X=0有通解ξ=kξ1=k-1，1，1T，知A有特征值λ=2，且A的对应于λ=2的特征向量为ξ1=-1，1，1T．r(A)=1，故知λ=0是A的二重特征值．
AX=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量，其应与对应于λ=2的特
征向量ξ1正交，
因[*]
故η1是AX=0的解向量，即是A的对应于λ=0的特征向量．
且[*]
故η2不是AX=0的解向量．
(Ⅱ)求二次型即求其对应矩阵．
方法一 求对应λ=0的线性无关特征向量．设为ξ=x1，x2，x3T，
[*]
方法二 求对应于λ=0的正交的特征向量，设为ξ=x1，x2，x3T，由[*]，解得ξ2=1，1，0T，ξ3=1，-1，2T，并将ξ1，ξ2，ξ3单位化后合并成正交阵有
[*]
则有[*]
[*]
方法三 直接由题设条件求A．
[*]
由-a+b+c=-3a=-2，得a=[*]，故[*]
对应的二次型为
[*]