已知数列{xn}中，x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，

问题解答题

已知数列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，

（1）求数列{y_n}的通项公式；

（2）证明：数列{x_n}为等比数列；

（3）设数列{x_n}的前n项和为S_n，若对一切正整数n，S_n＜a恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，

∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，

∵等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，

∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．

y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．

（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n

∴

xn+1

26-n

27-n

，

∴数列{x_n}为等比数列．

（3）Sn=

26(1-

)

=128(1-

)＜128

lim

n→∞

Sn=128，

故所求a的取值范围为a≥128．