问题
解答题
已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．
答案
（1）f′(x)=
-a，ex ex+1
∵f'（x）是奇函数，
∴f′(-x)=
=-f′(x)，于是a=e-x-1 2(e-x+1)
．1 2
（2）f′(x)=
-a=ex ex+1
，(1-a)ex-a ex+1
①当a≥1时，恒有f'（x）＜0，∴f（x）为R上的单调减函数；
②当0＜a＜1时，由f'（x）＞0得（1-a）ex-a＞0∴ex＞
∴x＞lna 1-a
，a 1-a
∴当x∈(ln
，+∞)时，f（x）单调递增；当x∈(-∞，lna 1-a
)时，f（x）单调递减；a 1-a
综上：当a≥1时，f（x）为R上的单调减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在(ln
，+∞)上单调递增；在(-∞，lna 1-a
)上单调递减．a 1-a