问题
解答题
已知双曲线C与椭圆
(1)求双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+
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答案
(1)设双曲线的方程为
-x2 a2
=1(a>0,b>0),y2 b2
由题意知,a=
,c=2,∴b2=c2-a2=1,解得b=1,3
故双曲线方程为
-y2=1.x2 3
(2)将y=kx+
代入2
-y2=1,得(1-3k2)x2-6x2 3
kx-9=02
由
得k2≠1-3k2≠0 △>0
,且k2<1,x1+x2=1 3
,x1x2=6
k2 1-3k2
,-9 1-3k2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由
•OA
>2,OB
得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
)(kx2+2
)=(k2+1)x1x2+2
k(x1+x2)+2=(k2+1)2
+-9 1-3k2
k2
+2>2,得6
k2 1-3k2
<k2<3.1 3
又k2<1,∴
<k2<1,解得k∈(-1,-1 3
)∪(3 3
,1),3 3
所以k的取值范围为(-1,-
)∪(3 3
,1).3 3