问题 解答题
已知双曲线C与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦点,实半轴长为
3

(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C有两个不同的交点A和B,且
OA
OB
>2
(其中O为原点),求k的取值范围.
答案

(1)设双曲线的方程为

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),

由题意知,a=

3
,c=2,∴b2=c2-a2=1,解得b=1,

故双曲线方程为

x2
3
-y2=1.

(2)将y=kx+

2
代入
x2
3
-y2=1
,得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0

1-3k2≠0
△>0
k2
1
3
,且k2<1,x1+x2=
6
2
k
1-3k2
x1x2=
-9
1-3k2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则由

OA
OB
>2,

x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2
)(kx2+
2
)=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2>2
,得
1
3
k2<3

又k2<1,∴

1
3
k2<1,解得k∈(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1)

所以k的取值范围为(-1,-

3
3
)∪(
3
3
,1).

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