（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，

由题意知，a=

3

，c=2，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，

故双曲线方程为

x2

3

-y2=1．

（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1，得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0

由

1-3k2≠0 △＞0

得k2≠

1

3

，且k²＜1，x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

OA

•

OB

＞2，

得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2＞2，得

1

3

＜k2＜3．

又k²＜1，∴

1

3

＜k2＜1，解得k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)，

所以k的取值范围为（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．