问题
问答题
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4．
(1)求椭圆的方程.
(2)直线l过点P(2，1)且与椭圆相交于A，B两点，当△AOB面积取最大值时，求直线l的方程．
答案
参考答案：
设椭圆方程为
(1)由已知得
∴所求椭圆方程为
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)
由
消去y得关于x的方程：(1+2k2)x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴
解得
又由韦达定理得
∴
原点O到直线l的距离
对
两边平方整理得：4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0(*)
∵S≠0，
整理得：
又S＞0，∴
从而S△AOB的最大值为
，
此时代入方程(*)得
所以，所求直线方程为：