问题
解答题
双曲线C的中心在原点，右焦点为F(
（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点． |
答案
（Ⅰ）设双曲线的方程是
-x2 a2
=1(a＞0，b＞0)，则c=y2 b2
，2 3 3
=b a
．3
又∵c2=a2+b2，∴b2=1，a2=
．1 3
所以双曲线的方程是3x2-y2=1．
（Ⅱ）①由y=kx+1 3x2-y2=1
得（3-k2）x2-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k2≠0，得-
＜k＜6
，且 k≠±6
．3
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x1x2+y1y2=0．
又x1+x2=
，x1x2=-2k k2-3
，2 k2-3
所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，
所以
+1=0，解得k=±1．2 k2-3