问题
解答题
已知定义域为R的函数f(x)=
（1）判断其奇偶性并证明； （2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明； （3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由． |
答案
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵f(-x)=
-1 2-x+1
=1 2
-2x 2x+1
=1-1 2
-1 2x+1
=1 2
-1 2
=-(1 2x+1
-1 2x+1
)=-f(x)1 2
∴f（x）是R上的奇函数．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-
，1 2
∴f（x）是R上的减函数．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（t2-2t）＞-f（2t2-k）=f（k-2t2）（9分）
又f（x）是R上的减函数
∴t2-2t＜k-2t2
即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t2-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t2-2t，
则g（t）在[1，2]上是增函数，
∴g（t）max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．