问题
问答题
如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是
，D是AC的中点．
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1—BD—A的大小；
（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
答案
参考答案：
解法一：(1)设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，
∵D为AC中点，∴PD∥B1C．
又∵
平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD
(2)∵正三棱柱ABC—A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC.
又∵BD⊥AC
∴AD⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1—BD—A的平面角．
∵
∴
∴
，即二面角A1—BD—A的大小是号
(3)由(2)作AM⊥A1D，M为垂足，
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵
平面A1ACC1，∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D，∴AM1平面A1DB，
连接MP，则∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角．
∵
，AD=1，∴在Rt△AA1D中，
直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
解法二：
(1)同解法一．
(2)如图建立空间直角坐标系，
则
∴
设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)
则
则有
由题意，知
是平面ABD的一个法向量．
设n与AA1所成角为θ，则
∴二面角A1—BD—A的大小是
(3)由已知，得
则
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
