问题
解答题
| 对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}的k阶差分数列． （1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？ （2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
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答案
（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n
∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
-an+1 2n+1
=an 2n 1 2
∴数列{{
}}是首项为an 2n
，公差为1 2
的等差数列，1 2
∴
=an 2n
+(n-1)×1 2
，1 2
∴an=n•2n-1．
设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴lim n→∞
=Sn+n-2 n•3n lim n→∞
=-2n+1 +n×2n+n-2 n•3n lim n→∞
=0-2n+n×2n+n-1 n•3n