（I）y=

x3

3

-4x+

16

3

．由y'=x²-4=0，得x=±2．

因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，

当x∈（-2，2）时，y'＜0，

当x∈（2，+∞）时，y'＞0，

故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），

单调递减区间是（-2，2）．

（II）证明：（i）方法一：

令h(x)=f(x)-gt(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)，则h′(x)=x2-t

2

3

，

当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t

1

3

，

当x∈(x

1

3

，+∞)时，h'（x）＞0，

所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t

1

3

)=0．

故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．

方法二：

对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=t

2

3

x-

2

3

t(t＞0)，则h′(t)=

2

3

t-

1

3

(x-t

1

3

)，

由h'（t）=0，得t=x³．

当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．

当t＞x³时，h'（t）＜0，

所以当t=x³时，h（t）取得最大值h(x3)=

1

3

x3．

因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．

（ii）方法一：f(2)=

8

3

=gt(2)．

由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．

即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．

下面证明x₀的唯一性：

当x₀≠2，x₀＞0，t=8时，f(x0)=

x03

3

，gx(x0)=4x0-

16

3

，

由（i）得，

x03

3

＞4x0-

16

3

，

再取t=x₀³，得gx03(x0)=

x03

3

，

所以gx(x0)=4x0-

16

3

＜

x03

3

=gx03(x0)，

即x₀≠2时，不满足g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意t＞0都成立．

故有且仅有一个正实数x₀=2，

使得g_x（x₀）0≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

方法二：对任意x₀＞0，gx(x0)=4x0-

16

3

，

因为g_t（x₀）关于t的最大值是

1

3

x03，所以要使g_x（x₀）≥g_t（x₀）

对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-

16

3

≥

1

3

x03，

即（x₀-2）²（x₀+4）≤0，①

又因为x₀＞0，不等式①成立的充分必要条件是x₀=2，

所以有且仅有一个正实数x₀=2，

使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．