问题
解答题
已知一次函数f(x)=ax+b,二次函数g(x)=ax2+bx+c,a>b>c,且a+b+c=0 (1)证明:y=f(x)与y=g(x)图象有两个不同的交点A和B (2)若A1、B1分别是点A、B在x轴上的射影,求线段A1B1长度的取值范围 (3)证明:当x≤-
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答案
(1)证明:由
得ax2+(b-a)x+c-b=0①y=ax+b y=ax2+bx+c
△=(b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac
∵a>b>c,a+b+c=0
∴a>0,c<0
∴△>0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点A,B.
(2)∵a+b+c=0且a>b>c,
∴a>0,c<0.
由a>b得a>-(a+c),
∴
>-2.c a
由b>c得-(a+c)>c,
∴
<-c a
.1 2
∴-2<
<-c a
.1 2
设A1(x1,0)B1(x2,0)
∴|A1B1|=|x2-x1| =(x2+x1)2-4x1x2
=
=(
)2-4a-b a c-b a
,(
-2) 2-4c a
易得
<|A1B1|2<129 4
即
<|A1B1|<2 3 2
.3
(3)令h(x)=ax2+(b-a)x+c-b,x≤-
,3
对称轴为x=
=a-b a
=2+2a+c a
>0,c a
∴h(x)在(-∞,-
)上单调递增,且h( -3
)=(2+3
)(2a+c)=(2+3
)a(2+3
)>0c a
∴h(x)=ax2+(b-a)x+c-b≥0恒成立,x≤-
,3
即当 x≤-
时,f(x)<g(x)恒成立.3