问题 解答题
已知一次函数f(x)=ax+b,二次函数g(x)=ax2+bx+c,a>b>c,且a+b+c=0
(1)证明:y=f(x)与y=g(x)图象有两个不同的交点A和B
(2)若A1、B1分别是点A、B在x轴上的射影,求线段A1B1长度的取值范围
(3)证明:当x≤-
3
时,恒有f(x)<g(x)
答案

(1)证明:由

y=ax+b
y=ax2+bx+c
得ax2+(b-a)x+c-b=0①

△=(b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac

∵a>b>c,a+b+c=0

∴a>0,c<0

∴△>0

∴①有两个不等的根

∴函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点A,B.

(2)∵a+b+c=0且a>b>c,

∴a>0,c<0.

由a>b得a>-(a+c),

c
a
>-2.

由b>c得-(a+c)>c,

c
a
<-
1
2

∴-2<

c
a
<-
1
2

设A1(x1,0)B1(x2,0)

∴|A1B1|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

(
a-b
a
)
2
-4
c-b
a
=
(
c
a
-2) 2-4

易得

9
4
<|A1B1|2<12

3
2
<|A1B1|<2
3

(3)令h(x)=ax2+(b-a)x+c-b,x≤-

3

对称轴为x=

a-b
a
=
2a+c
a
=2+
c
a
>0,

∴h(x)在(-∞,-

3
)上单调递增,且h( -
3
)=(2+
3
)(2a+c)=(2+
3
)a(2+
c
a
)>0

∴h(x)=ax2+(b-a)x+c-b≥0恒成立,x≤-

3

即当 x≤-

3
时,f(x)<g(x)恒成立.

单项选择题
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