问题
解答题
| 记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点． （1）若函数f(x)=
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面． |
答案
（1）函数f(x)=
图象上有两个关于原点对称的不动点，3x+a x+b
∴f（x）=x有两个互为相反的根
即x2+（b-3）x-a=0有两个互为相反的根
∴b-3=0 -a＜0
∴b=3，a＞0
（2）若a=8，b=3则可得f（x）=
=x3x+8 x+3
∴x=±2
即 A1(22
，22
)，A2(-22
，-22
)2
∴A1A2所在 的直线方程为x-y=0
设P（x，y）则由y=
＞3可得x＜-33x+8 x+3
点P到直线A1A2的距离d=
=||x-y| 2
|×x2-8 x+3
=1 2
（x＜-3）|x+3+
-6|1 x+3 2
=
[-(x+3)+1 2
+6]≥1 -(x+3)
=42
+6-(x+3)• -1 x+3 2 2
dmin=4
，此时x+3=2
即x=-4，P（-4，4）1 x+3
（3）令g（x）=f（x）-x则由f（x）为奇函数可得g（x）为奇函数
由奇函数的性质可得g（0）=0
当x≠0时，若g（x）=0，则g（-x）=-g（x）=0
∴g（x）=0的零点有奇数个即f（x）=x的根有奇数个
若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个为真命题
)的分子式相同