问题
解答题
已知两个等差数 * * ，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和．
答案
解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1=11．
∵数 * * ，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{an}的公差d=3×4=12，
∴an=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴an=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
其和S25=11×25+
×12=3875．25×24 2
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{an}与{bn}，则an=3n+2，bn=4n-1．
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=
m-1．4 3
又m、n∈N*，∴设m=3r（r∈N*），
得n=4r-1．
根据题意得1≤3r≤100 1≤4r-1≤100
解得1≤r≤25（r∈N*）．
从而有25个相同的项，且公差为12，
其和S25=11×25+
×12=3875．25×24 2
