（1）因为函数f（x）为偶函数，

∴f（-x）=f（x）

∴x2+3kx+3k-log

1

2

m=x2-3kx+3k-log

1

2

m

由此得6kx=0总成立，故k=0．

∴f(x)=x2-log

1

2

m，又该函数过点（1，0），

∴log

1

2

m=1，得m=

1

2

所以，当m=

1

2

，k=0时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数．

（2）由函数f（x）恒有两个不同的零点知，

方程x2-3kx+3k-log

1

2

m=0恒有两个不等实根

，故△=9k2-4(3k-log

1

2

m)＞0恒成立，

即4log

1

2

m＞-9k2+12k恒成立，

而-9k²+12k=-9(k-

2

3

)2+4≤4，

故只须4log

1

2

m＞4，即log

1

2

m＞1，解得0＜m＜

1

2

．

所以，当0＜m＜

1

2

时，函数f（x）恒有两个不同的零点．