证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0…（1分）

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0

∴-f（x）=f（-x）…（3分）

∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．

∴f（x）是奇函数．…（4分）

（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x_2，

f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）

∵x₁-x₂＞0，

∴f（x₁-x₂）＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），

∴f（x）在R上单调递增．…（7分）

∵f（1）=2，

∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）

∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）

（3）∵f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，

∴

由（2）可知f（x）在R上单调递增，

∴t²-2t＞-t²+k，

∴k＜2t²-2t=2(t-

∴k＜-