问题
解答题
| 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-1． （1）求函数h（x）=f（x）-
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x2-1）成立，求实数k的取值组成的集合． |
答案
（1）h(x)=lnx-
(x2-1)，(x＞0)1 2
求导函数可得h′(x)=
-x=1 x
，(x＞0)，所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．1-x2 x
所以h（x）的最大值为h（1）=0．…．（3分）
（2）令函数F（x）=lnx-k（x2-1）得F′(x)=
-2kx=1 x 1-2kx2 x
当k≤0时，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）递增，
故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．…．（5分）
当k＞0时，当x∈(0，
)时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；1 2k
当x∈(
，+∞)时，F′（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．1 2k
所以F(x)≤F(
)=ln(1 2k
-
)1 2k
+k；即 F（x）的最大值F(1 2
)≤0…．（8分）1 2k
令t=
，则k=1 2k
，(t＞0)．1 2t2
令函数H(t)=lnt+
-1 2t2
，H/(t)=1 2
-1 t
=1 t3 t2-1 t3
所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；
所以函数H（t）≥H（1）=0，
从而F(
)=H(t)≥0，∴F(1 2k
)=H(t)=0…（11分）1 2k
就必须当t=
=1，即k=1 2k
时成立．1 2
综上k∈{
}．…．（12分）1 2
