当△ABC是锐角三角形时，如图1所示：

过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，

∵⊙O是△ABC的外接圆，

∴点O在直线AD上，

∵AB=AC，BC=8，

∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，

∵OB=5，

∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，

∴AD=OA+OD=5+3=8，

在Rt△ABD中，

AB=

AD2+BD2

=

82+42

=4

5

，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4

5

+4

5

+8=8+8

5

；

当△ABC是锐角三角形时，如图2所示，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，

∵⊙O是△ABC的外接圆，

∴点O在直线AD上，

∵AB=AC，BC=8，

∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，

∵OB=5，

∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，

∴AD=OA-OD=5-3=2，

在Rt△ABD中，

AB=

AD2+BD2

=

22+42

=2

5

，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2

5

+2

5

+8=8+4

5

．

∴△ABC的周长为：8+4

5

或8+8

5

．