问题
填空题
若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是______．
答案
问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
也即x+
＜a＜x-b x
恒成立b x
令g（x）=x+
在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）b x
令h（x）=x-
，则h（x）在（0，b x
]上单调递减，[-b
，+∞）单调递增-b
1°当b＜-1时h（x）=x-
在0＜x≤1上单调递减b x
∴a＜hmin（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2
-3时，h（x）=x-2
≥2 b x
，-b
∴a＜hmin（x）=2
，∴1+b＜a＜2 -b
．-b
故可知b＜-3+2
时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立2
故答案为：b＜-3+2
．2
