问题 解答题

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,求实数a的取值范围.

答案

(I)函数y=f(x)的定义域为:(0,+∞)

因为f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)

所以f'(x)=2x-(2a+1)+

a
x
=
(2x-1)(x-a)
x

令f'(x)=0则x1=

1
2
,x2=a

(i)当0<a<

1
2
时,由f'(x)>0得x∈(0,a),(
1
2
,+∞)

由f'(x)<0得,x∈(a,

1
2

所以函数f(x)的单调递减区间是(a,

1
2

(ii)a=

1
2
时,f'(x)≥0

所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)

(iii)当a>

1
2
时由f'(x)>0得x∈(0,
1
2
),(a,+∞)

所以函数f(x)的单调递增区间是(0,

1
2
),(a,+∞)

由f'(x)<0得x∈(

1
2
,a)

所以函数f(x)的单调递减区间是(

1
2
,a)

(II)要使函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,即

函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.

由(I)可知,函数f(x)在[1,2]上单调递减时,a∈[2,+∞)

所以a∈(0,2)时,函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.

所以函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,

实数a的取值范围是(0,2).

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