已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,求实数a的取值范围.
(I)函数y=f(x)的定义域为:(0,+∞)
因为f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0)
所以f'(x)=2x-(2a+1)+
=a x (2x-1)(x-a) x
令f'(x)=0则x1=
,x2=a1 2
(i)当0<a<
时,由f'(x)>0得x∈(0,a),(1 2
,+∞)1 2
由f'(x)<0得,x∈(a,
)1 2
所以函数f(x)的单调递减区间是(a,
)1 2
(ii)a=
时,f'(x)≥01 2
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
(iii)当a>
时由f'(x)>0得x∈(0,1 2
),(a,+∞)1 2
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,
),(a,+∞)1 2
由f'(x)<0得x∈(
,a)1 2
所以函数f(x)的单调递减区间是(
,a)1 2
(II)要使函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,即
函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
由(I)可知,函数f(x)在[1,2]上单调递减时,a∈[2,+∞)
所以a∈(0,2)时,函数f(x)在[1,2]上不是单调递减函数.
所以函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,
实数a的取值范围是(0,2).