问题
解答题
已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．
答案
（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）2＞（3-m）2
所以m＞2…（6分）
所以当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）2，
即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立…（12分）
从而有
对x∈[m，10]恒成立，因为m≥-2，t≤x2+5x+7 t≥-x2-7x-7
所以
…（14分）t≤(x2+5x+7)min=m2+5m+7 t≥(-x2-7x-7)max=-m2-7m-7
因为存在这样的t，所以-m2-7m-7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以适合题意的最小整数m=-1…（16分）