∵方程

x2

k+2

+

y2

k+1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，

∴k+2＞k+1＞0，可得k＞-1．

因此a²=k+2，解得a=

k+2

．

根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，

∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a．

∵线段AB经过左焦点F₁，△ABF₂的周长为8，

∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，即|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=8，

解得a=

k+2

=2，可得k=2．

故答案为：2