问题
解答题
已知椭圆C：
（I）求椭圆C的方程； （II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程． |
答案
（I）∵椭圆离心率为
，∴3 3
=c a
，∴a=3 3
c，3
又△F1AB周长为4
，∴4a=43
，解得a=3
，∴c=1，b=3
，2
∴椭圆C的标准方程为：
+x2 3
=1；y2 2
（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，
∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=
-2k=6k3 2+3k2
，-4k 2+3k2
故y1+y2=k（x1+x2）-2k=
-2k=6k3 2+3k2
，-4k 2+3k2
∵四边形PAPB为平行四边形，∴
=OP
+OA
，OB
从而x0=x1+x2=
，y0=y1+y2=6k2 2+3k2
，-4k 2+3k2
又P（x0，y0）在椭圆上，∴
+(
)26k2 2+3k2 3
=1，(
)2-4k 2+3k2 2
整理得：
+36k4 3(2+3k2)2
=1，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±16k2 2(2+3k2)2
，2
故所求直线l的方程为：y=±
（x-1）．2
