问题
解答题
设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；椭圆C2以F1、F2为焦点，离心率e=
（I）（文科做）当m=1时， ①求椭圆C2的标准方程； ②若直线l与抛物线交于A、B两点，且线段AB恰好被点P（3，2）平分，设直线l与椭圆C2交于M、N两点，求线段MN的长； （II）（仅理科做）设抛物线C1与椭圆C2的一个交点为Q，是否存在实数m，，使得△QF1F2的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数m的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（I）①∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又e=
，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=1 2
m．3
椭圆方程为
+x2 4m2
=1，y2 3m2
∴当m=1时，故椭圆方程为
+x2 4
=1．y2 3
②由题意得，若x=3，则y=±2
，线段AB不可能被点P（3，2）平分，3
∴直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
得ky2-4y-12k+8=0，y2=4x y-2=k(x-3)
∴y1+y2=
=4，∴k=1，4 k
∴直线l的方程为：y-2=x-3，即y=x-1．
（II）假设存在满足条件的实数m，
由
，解得：Q(y2=4mx
+x2 4m2
=1y2 3m2
m，2 3
m)，8 3
∴|QF2|=
m+m=2 3
m，|QF1|=4m-|QF2|=5 3
m，又|F1F2|=2m=7 3
m．6 3
即△QF1F2的边长分别是
m、5 3
m、6 3
m．7 3
∵
-6m 3
=5m 3
-7m 3
=1∴m=3，6m 3
故存在实数m使△PF1F2的边长是连续的自然数．