问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程． |
答案
（Ⅰ）设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)．y2 b2
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±
．b2 a
所以
，又a2=b2+c2，解得
=b2 a 6 3 c=2
．a= 6 b= 2
∴椭圆的标准方程为
+x2 6
=1；y2 2
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程
，得（m2+3）y2-6my+3=0，
+x2 6
=1y2 2 x=my-3
y1+y2=
，y1y2=6m m2+3
，3 m2+3
由题意可知AF1⊥BF1，即kAF1•kBF1=-1，
∴
•y1 x1+2
=y2 x2+2
=y1y2 (my1-1)(my2-1)
=-1y1y2 m2y1y2-m(y1+y2)+1
整理得：（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=0．
∴
-3(m2+1) m2+3
+1=0，解得m=±6m2 m2+3
．3
代入△=36m2-12（m2+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为x+
y+3=0或x-3
y+3=0．3