问题 解答题
以O为原点,
OF
所在直线为x轴,建立直角坐标系.设
OF
FG
=1
,点F的坐标为(t,0),t∈[3,+∞).点G的坐标为(x0,y0).
(1)求x0关于t的函数x0=f(t)的表达式,并判断函数f(x)的单调性.
(2)设△OFG的面积S=
31
6
t
,若O以为中心,F,为焦点的椭圆经过点G,求当|
OG
|
取最小值时椭圆的方程.
(3)在(2)的条件下,若点P的坐标为(0,
9
2
)
,C,D是椭圆上的两点,
PC
PD
(λ≠1)
,求实数λ的取值范围.
答案

(1)由题意得:

OF
=(t,0),
OG
=(x0,y0),
FG
═(x0-t,y0),

则:

OF
FG
=t(x0-t)=1,解得:x0=f(t)=t+
1
t

所以f(t)在t∈[3,+∞)上单调递增.

(2)由S=

1
2
|
OF
|•|y0|=
1
2
|y0|•t=
31
6
t
得y0
31
3

点G的坐标为(t+

1
t
±
31
3
),|
OG
|
2
=(t+
1
t
)
2
+
31
9

当t=3时,|

OG
|取得最小值,此时点F,G的坐标为(3,0)、(
10
3
,±
31
3

由题意设椭圆的方程为

100
9(b2+9)
+
31
9b2
=1,又点G在椭圆上,

解得b2=9或b2=-

31
9
(舍)故所求的椭圆方程为
x2
18
+
y2
9
=1

(3)设C,D的坐标分别为(x,y)、(m,n)

PC
=(x,y-
9
2
),
PD
=(m,n-
9
2
)由
PC
PD
得(x,y-
9
2
)=λ=(m,n-
9
2
),

∴x=λm,y=λn-

9
2
λ+
9
2

又点C,D在椭圆上

x2
18
+
y2
9
=1 
λ2m2
18
+
(λn-
9
2
λ+
9
2
)
2
9
=1
消去m得n=
13λ-5
   

|n|≤3,∴|

13λ-5
|≤3解得
1
5
≤λ≤5

又∵λ≠1

∴实数λ的范围是[

1
5
,1)∪(1,5]

单项选择题
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