问题
单项选择题
设随机变量(X，Y)在矩形区域D=(x，y)：0＜x＜2，0＜y＜2上服从均匀分布．
(Ⅰ) 求U=(X+Y)2的概率密度；
(Ⅱ) 求V=max(X，Y)的概率密度；
(Ⅲ) 求W=XY的概率密度；
(Ⅳ) 求
的概率密度．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ) 设U的分布函数为FU(u)，则
当u＜0时，FU(u)=P{U≤u}=0；
当u≥16时，FU(u)=P{U≤u}=1；
当0≤u＜4时，如图9-1(a)：
FU(u)=P{(X+Y)2≤u}
=[*]
[*]
当4≤u＜16时，
[*]
故U的概率密度fU(u)为
[*]
(Ⅱ) 记V的分布函数为FV(v)，由于(X，Y)服从均匀分布的区域D是边长平行于坐标轴的矩形．因此X与Y相互独立且都服从区间(0，2)上的均匀分布，它们的边缘分布函数都是
[*]
FV(v)=P{V≤v}=P{max(X，Y)≤v}
=P{X≤v，Y≤v}=P{X≤v}P{Y≤v}
=[*]
V的概率密度fV(v)为[*]
(Ⅲ) 记W的分布函数为FW(w)，则
当w＜0时，FW(w)=0；当w≥4时，FW(w)=1；
当0≤w＜4时，如图9-1(b)：
[*]
或先计算概率 P{XY＞w