设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半

问题解答题

设A，B分别为椭圆

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P为椭圆上不同于A，B的一个动点，直线PA，PB与椭圆右准线相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使得

•

=0，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

答案

（1）由题意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故椭圆方程为

=1…（5分）

（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），则A（-2，0），B（2，0），

由A、P、M三点共线，得m=

sinθ

1+cosθ

…（7分）

由B、P、N三点共线，得n=

sinθ

cosθ-1

，…（9分）

设Q（t，0），则由

•

=0得

（t-4）（t-4）+（0-

sinθ

1+cosθ

）（0-

sinθ

cosθ-1

）=0，

整理得：（t-4）²-9=0 解得t=1或t=7

∴Q点的坐标是（7，0）或（1，0）．…（12分）