问题
解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标． |
答案
（1）设椭圆的方程为：
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，y2 b2
由题意得
=c a
，a=2，所以c=3 2
，3
又b2=a2-c2=1，
所以椭圆的方程为：
+y2=1；x2 4
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2），
由
，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，x1+x2=-x2+4y2=4 y=kx+m
，x1x2=8km 1+4k2
，4(m2-1) 1+4k2
•PA
=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)PB
+(2+km)4(m2-1) 1+4k2
+m2+4=0，-8km 1+4k2
∴12k2+5m2-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=
k或m=2k，6 5
当m=
k时，AB：y=kx+6 5
k恒过定点(-6 5
，0)；6 5
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；
②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-
，则AB与椭圆C相交于A(-6 5
，-6 5
)，B(-4 5
，6 5
)，4 5
∴
•PA
=(PB
，-4 5
)•(4 5
，4 5
)=(4 5
)2+(-4 5
)(4 5
)=0，∵PA⊥PB，满足题意，4 5
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-
，0)．6 5