问题
解答题
已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
答案
(1) 
+y2=1 (2)见解析
(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,
∴不妨设椭圆C的方程为
+y2=1.
∴
=
=2,即c=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)F(1,0),右准线为l:x=2.设N(x0,y0),
则直线FN的斜率为kFN=
,直线ON的斜率为kON=
.
∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-
.
∴直线OM的方程为y=-x,
点M的坐标为M(2,-
).
∴直线MN的斜率为kMN=
.
∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.
∴·=-1.
∴
+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即
+=2.
∴ON=
为定值.