问题
解答题
已知定义在R上的函数f(x)=
（1）求a，b的值； （2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=
=0，b-1 a+1
解得b=1，（1分）
∴f(x)=
，1-2x a+2x
∴f(-x)=
=1-2-x a+2-x
=-f(x)=2x-1 a•2x+1 2x-1 a+2x
∴a•2x+1=a+2x，即a（2x-1）=2x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)=
=1-2x 1+2x
-1，2 1+2x
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x1，x2∈R且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=
-2 1+2x1 2 1+2x2
=-
，2(2x1-2x2) (1+2x1)(1+2x2)
∵x1＜x2，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t2）＞-f（-k），
∴f（t-2t2）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t2＜k（10分）
∴k＞t-2t2=-2(t-
)2+1 4
对t∈R恒成立，1 8
∴k＞
．（12分）1 8