问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=
（1）求曲线C的方程； （2）曲线C上不同两点Q （x1，y1），R （x2，y2）满足
①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围； ②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论． |
答案
（1）设点P坐标为（x，y），由PA=
PB，得2
=(x-2a)2+y2
×2
，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2(x-a)2+y2
（2）①由
=λAR
，得AQ
，∵Q，R在曲线C上，∴x2-λx1=2a(1-λ) y2=λy1
，
+x 21
=2a2y 21
+x 22
=2a2y 22
∴x1=
a，x2=3-λ 2
a，∵-3λ-1 2λ
a≤x1，x2≤2
a，∴3-22
≤λ≤3+22 2
又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是[3-2
，1)∪(1，3+22
)2
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：
=(x2-a，--y2)，TS
=(x1-a，--y1)，TQ
要证S，T，Q三点共线，只要证明
∥TQ
，即（x2-a）y1-（x1-a）（-y2）=0TS
∵y2=λy1，∴只要（x2-a）y1+λ（x1-a）y1=0
若y1=0，则y2=0成立
若y1≠0，只要x2+λx1-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线