问题
解答题
| 已知复数z1=bcosC+（a+c）i，z2=（2a-c）cosB+4i，且z1=z2，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=2
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答案
（Ⅰ）∵z1=z2
∴bcosC=（2a-c）cosB①，a+c=4，②（2分）
由①得2acosB=bcosC+ccosB，③（3分）
在△ABC中，由正弦定理得
=a sinA
=b sinB
，c sinC
设
=a sinA
=b sinB
=k（k＞0）c sinC
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入③
得； 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，（4分）
2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA （5分）
∵0＜A＜π∴sinA＞0
∴cosB=
，1 2
∵0＜B＜π∴B=
（7分）π 3
（Ⅱ）∵b=2
，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB⇒a2+c2-ac=8，④（10分）2
由②得a2+c2+2ac=16⑤
由④⑤得ac=
，（12分）8 3
∴S△ABC=
acsinB=1 2
×1 2
×8 3
=3 2
．（14分）2 3 3