问题
单项选择题
设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则______．
A．当[*]f(x)=0时，必有[*]f(x)=0
B．当[*]f'(x)存在时，必有[*]f'(x)=0
C．当[*]f(x)=0时，必有[*]f'(x)=0
D．当[*]f'(x)存在时，必有[*]f'(x)=0
答案
参考答案：B
解析：[考点提示] 函数极限、导数的极限．
[解题分析] 由题设，可采取举反例的方法逐一排除干扰项．
关于A，设[*],则[*]f(x)=[*].但[*],其中2cos(x2)项当x→∞时极限不存在，即[*]不存在．所以A可排除．
关于C和D，令f(x)=sinx，则[*]f(x)=0，且[*]f'(x)=[*]cosx=1．
从而C和D都可排除．
关于B的正确性，证明如下：
任取x＞0，由拉格朗日中值定理，
f(2x)-f(x)=f'(ξ)·x (其中x＜ξ＜2x)， ①
当x→+∞时ξ→+∞，由题设[*]f'(x)存在，记为
A=[*]f'(X)=f'(+∞)．
A为有限常数，在①中令x→+∞，则：
[*]
已知f(x)连续有界，因此
[*]
所以[*]f'(x)=0，综上，选B．
