∵定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

3

)=

1

2

f(x)，

∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1

f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

2

f（1），∴f（

1

2

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

2

∵

1

1458

＞

1

2010

＞

1

2187

，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），

∴f(

1

1458

)＜f(

1

2010

)＜f(

1

2187

)，

又∵f（

1

1458

）=

1

2

f（

1

486

）=

1

22

f（

.

162

）=…=

1

26

f（

1

2

）=

1

27

f（

1

37

）=

1

2

f（

1

36

）=

1

22

f（

1

35

）=…=

1

27

f（1）=

1

27

∴f(

1

2010

)=

1

27

=

1

128

故选B