问题
解答题
已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）； （2）判断函数f（x）的单调性并证明． |
答案
（1）令x=y=
，则f(1)=f(1 2
)+f(1 2
)+1 2
，∴f(1)=1 2
，1 2
则当n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+
，∴f（n+1）-f（n）=1，1 2
∴{f（n）}是首项为
，公差为1的等差数列．1 2
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=
n+1 2
=n(n-1) 2
；n2 2
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x1＜x2，x1，x2∈R，
f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f(x2-x1)+f(x1)+
-f(x1)1 2
=f(x2-x1)+f(
)+1 2
=f(x2-x1+1 2
)，1 2
∵x2＞x1，∴x2-x1+
＞1 2
，1 2
由于当x＞
时，f（x）＞0，1 2
∴f(x2-x1+
)＞0，即f（x2）＞f（x1），1 2
∴f（x）在R上是增函数．