问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
答案
（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
=c x
＞0(i)恒成立．2ax2+bx+c x
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
=f(x2)-f(x1) x2- x1
=2ax0+ba(x22-x12)+b(x2-x1) x2-x1
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
=g(x2)-g(x1) x2-x1 f(x2)-f(x1)+cln x2 x1 x2-x1
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
=cln x2 x1 x2-x1
，c≠0c x0
即∴
=ln x2 x1 x2-x1
，2 x1+x2
令t=
，t＞1，则x2 x1
=lnt t-1 2 t+1
设s（t）=lnt-
，则s′(t)=2t-2 t+1
-1 t
=2(t+1)-2(t-1) (t+1)2
＞0(t-1)2 t(t+1)2
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．