问题
解答题
已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)
(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;
(2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D.
答案
(1)∵函数f(x)=2x+1,∴x=log2(f(x)-1),∴f-1(x)=log2(x-1) (x>1),
设 m>n>1,f-1(m)-f-1(n)=
,log
2m-1 n-1
∵m-1>n-1>0,∴
>1,m-1 n-1
∴
>0,log
2m-1 n-1
∴f-1(m)-f-1(n)>0,f-1(m)>f-1(n),
f-1(x)在其定义域(1,+∞)内是增函数.
(2)∵f-1(x)≤g(x),
∴log2(x-1)≤log4(3x+1),
≤log4(3x+1),log (x-1)24
∴
,1<x≤5,x-1>0 (x-1)2≤ 3x+1
∴x的取值集合D=(1,5].