问题 解答题

已知函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x),g(x)=log4(3x+1)

(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性;

(2)若f-1(x)≤g(x),求x的取值集合D.

答案

(1)∵函数f(x)=2x+1,∴x=log2(f(x)-1),∴f-1(x)=log2(x-1) (x>1),

设 m>n>1,f-1(m)-f-1(n)=

log
m-1
n-1
2

∵m-1>n-1>0,∴

m-1
n-1
>1,

log
m-1
n-1
2
>0,

∴f-1(m)-f-1(n)>0,f-1(m)>f-1(n),

 f-1(x)在其定义域(1,+∞)内是增函数.

(2)∵f-1(x)≤g(x),

∴log2(x-1)≤log4(3x+1),

log(x-1)24
≤log4(3x+1),

x-1>0  
(x-1)2≤ 3x+1 
,1<x≤5,

∴x的取值集合D=(1,5].

单项选择题
多项选择题