对于函数f(x)=a-
(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数?并说明理由. |
(1)函数f (x)的定义域是R,
当b>1时,函数f (x)在R上单调递增;当0<b<1时,函数f (x)在R上是单调递减.
证明:任取R上两x1,x2,且x1<x2,
f (x1)-f (x2)=a-
-( a-2 bx1+1
)=2 bx2+1
-2 bx2+1
=2 bx1+1 2(bx1-bx2) (bx1+1)•(bx2+1)
当b>1时,∵x1<x2∴bx1<bx2∴bx1-bx2<0
得f (x1)-f (x2)<0
所以f (x1)<f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调增函数;
当0<b<1时,∵x1<x2∴bx1>bx2∴bx1-bx2>0
得f (x1)-f (x2)>0
所以f (x1)>f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调减函数.
(2)f (x)的定义域是R,
由f(0)=0,求得a=1.
当a=1时,f(-x)=1-
=2 b-x+1
=b-x-1 b-x+1
,f(x)=1-1-bx 1+bx
=2 bx+1 bx-1 bx+1
满足条件f(-x)=-f(x),
故a=1时函数f (x)为奇函数.