问题 解答题
对于函数f(x)=a-
2
bx+1
 (a∈R,b>0且b≠1)
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数?并说明理由.
答案

(1)函数f (x)的定义域是R,

当b>1时,函数f (x)在R上单调递增;当0<b<1时,函数f (x)在R上是单调递减.

证明:任取R上两x1,x2,且x1<x2

f (x1)-f (x2)=a-

2
bx1+1
-( a-
2
bx2+1
)=
2
bx2+1
-
2
bx1+1
=
2(bx1-bx2)
(bx1+1)•(bx2+1)

当b>1时,∵x1<x2bx1bx2bx1-bx2<0

得f (x1)-f (x2)<0   

所以f (x1)<f (x2

故此时函数f (x)在R上是单调增函数;

当0<b<1时,∵x1<x2bx1bx2bx1-bx2>0

得f (x1)-f (x2)>0         

所以f (x1)>f (x2

故此时函数f (x)在R上是单调减函数.

(2)f (x)的定义域是R,

由f(0)=0,求得a=1.

当a=1时,f(-x)=1-

2
b-x+1
=
b-x-1
b-x+1
=
1-bx
1+bx
f(x)=1-
2
bx+1
=
bx-1
bx+1

满足条件f(-x)=-f(x),

故a=1时函数f (x)为奇函数.

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