问题
解答题
己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量
（I）求角C的大小； （II）当c=1时，求a2+b2的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由
⊥m
得：（a2+b2-c2）sinC-ab•cosC=0，…（2分）n
结合余弦定理得：sinC=
，∴C=30°（∵C是锐角）．…（5分）1 2
（Ⅱ）由正弦定理得：
=a sinA
=b sinB
=c sinC
=2，…（7分）1 sin30°
∴a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．
∴a2+b2=4sin2A+4 sin2（A+30°）=2（1-cos2A）+2[1-2cos（2A+60°）]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A
=4cos2A-cos2A+
sin2A=4+3
sin2A-3cos2A=4+23
sin（2A-60°）．…（10分）3
∵△ABC是锐角三角形，由0°＜A＜90°及 0°＜B=150°-A＜90°，得：60°＜A＜90°，120°＜2A＜180°，
从而 60°＜2A-60°＜120°，
＜sin（ 2A-60°）≤1，3＜23 2
sin（ 2A-60°）≤23
，故7＜4+23
sin（2A-60°）≤4+23
，3
即a2+b2的取值范围是（7，4+2
）．…（12分）3