问题
解答题
己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a、b、c,向量
(I)求角C的大小; (II)当c=1时,求a2+b2的取值范围. |
答案
(Ⅰ)由
⊥m
得:(a2+b2-c2)sinC-ab•cosC=0,…(2分)n
结合余弦定理得:sinC=
,∴C=30°(∵C是锐角).…(5分)1 2
(Ⅱ)由正弦定理得:
=a sinA
=b sinB
=c sinC
=2,…(7分)1 sin30°
∴a=2sinA,b=2sinB=sin(150°-A)=2sin(A+30°).
∴a2+b2=4sin2A+4 sin2(A+30°)=2(1-cos2A)+2[1-2cos(2A+60°)]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A
=4cos2A-cos2A+
sin2A=4+3
sin2A-3cos2A=4+23
sin(2A-60°).…(10分)3
∵△ABC是锐角三角形,由0°<A<90°及 0°<B=150°-A<90°,得:60°<A<90°,120°<2A<180°,
从而 60°<2A-60°<120°,
<sin( 2A-60°)≤1,3<23 2
sin( 2A-60°)≤23
,故7<4+23
sin(2A-60°)≤4+23
,3
即a2+b2的取值范围是(7,4+2
).…(12分)3