问题 解答题
己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a、b、c,向量
m
=(a2+b2-c2,ab),
n
=(sinC,-cosC),且
m
n

(I)求角C的大小;
(II)当c=1时,求a2+b2的取值范围.
答案

(Ⅰ)由

m
n
得:(a2+b2-c2)sinC-ab•cosC=0,…(2分)

结合余弦定理得:sinC=

1
2
,∴C=30°(∵C是锐角).…(5分)

(Ⅱ)由正弦定理得:

a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
1
sin30°
=2,…(7分)

∴a=2sinA,b=2sinB=sin(150°-A)=2sin(A+30°).

∴a2+b2=4sin2A+4 sin2(A+30°)=2(1-cos2A)+2[1-2cos(2A+60°)]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A

=4cos2A-cos2A+

3
sin2A=4+
3
sin2A-3cos2A=4+2
3
sin(2A-60°).…(10分)

∵△ABC是锐角三角形,由0°<A<90°及 0°<B=150°-A<90°,得:60°<A<90°,120°<2A<180°,

从而  60°<2A-60°<120°,

3
2
<sin( 2A-60°)≤1,3<2
3
sin( 2A-60°)≤2
3
,故7<4+2
3
sin(2A-60°)≤4+2
3

即a2+b2的取值范围是(7,4+2

3
).…(12分)

名词解释
多项选择题