问题
解答题
已知函数y=f（x）对任意的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0
（1）求f（0）；
（2）判断函数y=f（x）的单调性，并给出证明．
（3）如果f（x）+f（2-3x）＜0，求x的取值范围．
答案
（1）解令x2=0，由f（x1+0）=f（x1）+f（0）
即：f（x1）=f（x1）+f（0），解之得f（0）=0---------------（3分）
（2）函数y=f（x）在区间 （-∞，+∞）是减函数
证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）=f（x1）+f（x2-x1）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x1＜x2，得x2-x1＞0．
∴由当x＞0时f（x）＜0，得f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＜0
可得f（x1）＞f（x2）
∴函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数---------------（9分）
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）＜0转化为f（2-2x）＜f（0），
又∵f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数
∴2-2x＞0，解之得x＜1，即x的取值范围为（-∞，1）---------------（12分）