∵在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0有两个实数根，

∴当b=c，则△=（2k+1）²-4×4（k-

1

2

）=0，即4k²-12k+9=0；

解得：k=1.5，此时x₁=x₂=2，

①当a为底，b，c为腰时，则2+2=4，构不成三角形，此种情况不成立；

②当b为底，a，c为腰时，则x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0将a=4代入得出：k=2.5，

整理得出：x²-6x+8=0

解得：x₁=2，x₂=4，

∵2+4＞4，

∴能够构成三角形；

此时△ABC的周长为：4+4+2=10．

故答案为：10．